Matrice de contrôle \(\mathbf H\) du Code linéaire \(\mathcal C\)
Matrice génératrice du Code dual \(\mathcal C^\perp\).

• c'est une matrice de \(\Bbb F_q^{(n-k)\times n}\) et de rang \(n-k\)
• lien avec la Matrice génératrice : \(\mathbf {GH}^T=0\)
• \(\underline a\mathbf H^T=0\) \(\iff\) \(\underline a\in \mathcal C\)
• si le code est systématique, alors \(\mathbf H=\begin{pmatrix}-\mathbf B^T&\mid&\mathbf I_{n-k}\end{pmatrix}\)
• \(d(\mathcal C)=d\) \(\iff\) il existe \(d\) colonnes de \(\mathbf H\) qui sont linéairement dépendantes et \(d-1\) colonnes différentes de \(\mathbf H\) sont toujours linéairement indépendantes
• la matrice de contrôle du Code dual est la Matrice génératrice \(\mathbf G\)

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la formule pour obtenir la matrice de contrôle à partir de la matrice génératrice dans le cas systématique.
Verso: $$\mathbf G=\begin{pmatrix}\mathbf I_k&\mid&\mathbf B\end{pmatrix}\implies\mathbf H=\begin{pmatrix}-\mathbf B^T&\mid&\mathbf I_{n-k}\end{pmatrix}$$
Bonus: Le \(-\) ne change rien en binaire (\(1=-1\mod2\))
Carte inversée ?:
END